高中数学知识图谱

高中数学常用公式

数列中 an与 Sn的关系式

等差数列{an}的通项公

等比数列{an}的通项公式

式和前n项和公式

和前n项和公式

数列的通项 an与前n项和 Sn的关系为

通项公式

an=a1qn−1(n∈N∗)

通项公

且n≥2.

前n项和公式

圆柱、圆锥的

前n项和公式

表面积公式

d2n2+(a1−12d)n(n∈N∗)

柱体、锥体的体积公式

= \left\{\begin{array}{l l}{n \alpha_{1} , q = 1 , } \{\frac{\alpha_{1} - a_{n} q}{1 - q} , q ≠ 1 .} \end{array}\begin{array}{l l}{n \alpha_{1} , q = 1 , } \{\frac{\alpha_{1} - a_{n} q}{1 - q} , q ≠ 1 .} \end{array} \right. \left( n \in N^{ * } \right)}= \left\{\begin{array}{l l}{n \alpha_{1} , q = 1 , } \{\frac{\alpha_{1} - a_{n} q}{1 - q} , q ≠ 1 .} \end{array}\begin{array}{l l}{n \alpha_{1} , q = 1 , } \{\frac{\alpha_{1} - a_{n} q}{1 - q} , q ≠ 1 .} \end{array} \right. \left( n \in N^{ * } \right)}

圆柱(

SA=2πr2+2πrl=2πr(r+l)

（圆柱的底面半径为r，母线长为l）

VHB= Sh(S是柱体的底面积，

常用不等式

圆锥(

Sx=πr2+πrl=πr(r+l)

h是柱体的高)

（圆锥的底面半径为r，母线长为l）

a, b∈R. a²+b²≥2ab（当且仅当a=b时，等号成立）

放V放=13Sh

(S是锥体的底面积。

球的体积与表面积公式

h是锥体的高)

a ,b>0.a+b2≥ab（当且仅当a=b时，等号成立）

体积

○○V=43πR3

空间向量的坐标运算

a , b > 0 ，a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b当且仅当“”，

设

a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),

则

(1)a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);

表面积

♂S=4πR²

(2)a−b=(a1−b1,a2−b2,a3−b3)

（球的半径为R）

(3)λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R);

空间两点间的距离公式

(4)a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3.

若A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂).

则

点到平面的

空间向量的夹角公式

距离公式

=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2.

设

a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2.

点B到平面α的距离

d=∣AB→⋅n∣∣n∣

b₃),则

cos<a,b>=a⋅b∣a∣⋅∣b∣

(n为平面α的法向量，AB是经过

直线与圆相交的弦长公式

平面α的一条斜线，A∈α).

直线的

斜率

几何法

设弦心距为d，半径为r，弦

○ k=tanα(其中α是直线的倾斜角，

距离公式

为AB,则

∣AB∣=2r2−d2

α≠π2,

k是直线的斜率)

平面内两点 P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂)间的距离公式为∣P1P2∣=(x1−x2)2+(y1−y2)2

代数法

O经过两点 P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂)

点P(x₀, y₀)到直线

l:Ax+By+C=0(A,

(x1≠x2)

的直线的斜率

k=y2−y1x2−x1

d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2

B不同时为零)的距离

设直线l与圆交于点A (x₁,y₁), B(x₂, y₂).直线l的斜率为k，则有∣AB∣=1+k2∣x1−x2∣;当直线AB的倾斜角是直角，即直线AB的斜率不存在时, |AB|=|y₁-y₂|

两条平行线

Ax+By+C1=0

（A,B不同时为零）与

Ax+By+C2=0(C2≠C1)

直线与圆锥曲线

间的距离

d=∣C1−C2∣A2+B2

相交的弦长公式

排列数公式

组合数公式

Anm=n(n−1)⋯(n−m+1)=n!(n−m)!

直线l:y= kx+m与圆锥曲线C交于点A(x₁,y₁),

B(x₂,y₂).

则

∣AB∣=(x1−x2)2+(y1−y2)2

，且m≤n).注：规定0!=1.

=1+k2∣x1−x2∣=1+1k2|y1−y2|(k≠0).

n!m!(n−m)!(n,m∈N∗,

且m≤n).

注：规定

Cnn=1,Cn0=1.

复数的四则运算法则

复数z=a+ bi的模

(1)(a+ bi)+(c+ di)=(a+c)+(b+d)i;

(2)(a+ bi)-(c+ di)=(a-c)+(b-d)i;

(3)(a+ bi)(c+ di)=(ac-bd)+(bc+ ad)i;

二项展开式的通项公式

∣z∣=∣a+bi∣=a2+b2.

(4)(a+bi)÷(c+di)=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i(c+di≠0).(a,b,c,d∈R)

Tr+1=C6′an−rb′(r=0,1,2,⋯,n).

高中数学常用公式

交集的性质

并集的性质

补集的性质

对于任意两个集合A,B，都有

(1)A∪∁cA=U;

对于任意两个集合A,B，都有

(2)A∩[c0A=∅;

(1)A∩B=B∩A;

对于任意两个集合A,B，都有

(1)A∪B=B∪A;

(3)∁v(∁cA)=A;

(2)A∩A=A;

(4)∁v(A∩B)=∁0A∪l^vB;

(3)A∩∅=∅∩A=∅;

(2)A∪A=A;

(4)若A⊆B,则A∩B=A.

(3)A∪∅=∅∪A=A;

(5)∁v(A∪B)=∁vA∩Γ^vB.

(4)若A⊆B,则A∪B=B.

集合中子集的个数

分数指数幂

集合{a1,a2,⋯,an}的子集有2°个；鼻子集有(2°-1)个；非空子集有(2°-1)个；非空真子集有(2°-2)个。

α′α′=α′α(a>0,r,x∈Q)

(α′)t=αn(a>0,r,z∈Q)

有理指数幂

的运算法则

a14=a4(a>0,n∈N∗,

且n>1)

(ab)′=a′b′(a>0,b>0,r∈Q)

a⁵=7π(a>0, m,n∈N°,且a>1)

注：上述有理数指数幂的运算法则。对于无理数指数幂也适用。

a−n6=1aπn=1amn(a>0,m,n∈N∗,

且n>1)

根式的性质

0的正分数指数幂等于0.0的负分数指数幂无意义

()·=a（注意a必须使答有意义,n∈N', n>1）

指数式与对

对数的运算法则

数式的互化

若a>0, a≠1, M>0, N>0,则

当n(a>1, n∈N')为奇数时，

an7=a;

logn⁡N=b⟺a4=N(a>0,a≠1,N>0).

(1)logn⁡(M⋅N)=logn⁡M+logn⁡N;

当n(n>1, n∈N⁺)为偶数时，

(2)logn⁡MN=logn⁡M−log⁡N;

(3)logn⁡M−=nlogn⁡M(n∈R),

导数的运算法则

几种常见函

数的导数

对数的性质

同角三角函数

c'=0（c为常数）

若N,a, b>0, 且a,b≠1,则

的基本关系式

(u±v)'=u'±v'

O′(xn)′=nxn−1(n∈Q∗)

(1)log⁡N=log2⁡Nloga

（换成公式）：

sin2⁡θ+cos2⁡θ=1,tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ.

(uv)'=u'v+ux'

(sin⁡x)′=cos⁡x

(2)logn⁡b∗=nmlogn⁡b(m≠0,m,n∈R);

(cosx)'=-sinx

(uv)′=u′v−uv′v2(v≠0)

(a')'=a' lna(a>0且a≠1)

(4)loga⁡a∗=n(n∈R).

(ex)′=ei

O(ln⁡x)′=1x

正弦、余弦的诱导公式

两角和与差的正弦、

(logx)′=1xlogn⁡e=1xln⁡a(a>0

且a≠1)

余弦和正切公式

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ

二倍角公式

cos（α±β）=cosαcosβ+sinαsinβ

0sin2α=2sinαcosα

tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β

cos⁡2α=cos3⁡α−sin3⁡α=2cos2⁡α−1=1−2sin3⁡α

asin⁡α+bcos⁡α=a2+b2sin⁡(α+φ)

tan⁡2α=2tan⁡α1−tan2⁡α

( 其中 \cos p = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} , \sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \right)( 其中 \cos p = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} , \sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \right)

与b的数量积（或内积）

正弦定理

a·b=|a|·|b|cosθ, 其中0是a

三角形面积公式

余弦定理

在△ABC中，有

αsin⁡A=

与b的夹角

S=12αhn=12bh6=12

在△ABC中，有

bsin⁡B=csin⁡G=2R

□、